Середа, 2017-11-22, 5:41 PMВітаю Вас Гість | RSS
Сайт-портфоліо вчителя математики Тичинської Т.І.
Меню сайту
Наше опитування
Оцініть мій сайт
Всього відповідей: 90
Статистика

Онлайн всього: 1
Гостей: 1
Користувачів: 0
Форма входу

Комбінації тіл


Комбінації геометричних тіл

Можливі типи комбінацій:

1. Многогранник і многогранник. (Призма, вписана в піраміду, або піраміда, вписана в призму, та інші.)

2. Многогранник і тіло обертання. (Піраміда, вписана в конус, або конус, вписаний в піраміду; циліндр, вписаний в піраміду, або піраміда, вписана в циліндр, та інші; куля, вписана в піраміду, або піраміда, вписана в кулю; призма, вписана в кулю, або куля, вписана в призму, та інші.)

3. Тіло обертання і тіло обертання. (Куля, вписана або описана навколо циліндра, конуса, та інші.) 

Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого — круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми. Радіус циліндра — г. Вісь циліндра співпадає з висотою призми — Н. 

Циліндр називається описаним навколо призми, якщо його основи — круги, описані навколо основ призми, а твірні збігаються з ребрами призми. Радіус циліндра — R. Вісь циліндра співпадає з висотою призми — H.

Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого — круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди.

r – радіус конуса; Н - висота піраміди і конуса.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо його основа — круг, описаний навколо піраміди, верши¬на співпадає з вершиною піраміди, а твірні збігаються з ребрами піраміди. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної че¬рез точку, яка не лежить у даній площині. Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) пер¬пендикулярний стороні многокутника, який лежить в ос-нові піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи. 

R – радіус конуса; Н - висота піраміди і конуса.

Куля називається вписаною в многогранник, якщо всі грані многогранника дотикаються до кулі. Многогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у многогранник, рівновіддалений від всіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус. 

Куля називається описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер многогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершини многогранника — його радіус.

Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа є прямокутником, вписаним в коло. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти призми, яка з'єднує центри кіл, описаних навколо основ призми.

 O – центр кулі; R – радіус кулі; O1O2 – висота призми; r – радіус кола, описаного навколо основи призми  

Кулю можна вписати в пряму призму, якщо її основи є многокутниками, описаними навколо кола, а висота призми дорівнює діаметру кулі і діаметру цього кола. Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить на середині відрізка, який з'єднує центри кіл, вписаних в основи призми. Причому, радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми, а діаметр кулі дорівнює висоті призми. 

O – центр кулі; R – радіус кулі; O1O2 – висота призми і діаметр кулі; r – радіус кола, вписаного в основу призми; R=r=H/2.

Примітка. Кулю можна вписати і в деякі похилі призми. Якщо розглянути перпендикулярний переріз призми, який проходить через центр вписаної кулі, то одержимо те, що радіус кулі, вписаної в похилу призму, дорівнює радіусу кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми, а діаметр кулі дорівнює висоті призми. Якщо в многогранник можна вписати сферу, то об'єм многогранника дорівнює одній третій добутку площі повної поверхні многогранника на радіус вписаної сфери. V=1/3⋅r⋅Sповн.многогр A0B0C0 – перпендикулярний переріз (A0B0C0) ┴ AA1, то rвпис. кулі = rкола, вписаного в перп. переріз А0В0С0 dвпис. кулі = Нпризми  


Куля називається описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі. O – центр описаної кулі; AO1= BO1= CO1= SO1=Rопис. кулі


 Центр кулі, описаної навколо довільної піраміди, лежить на прямій, перпендикулярній площини основи, яка проходить через центр кола, описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною, яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину.

O – центр кола, описаного навколо основи, ОО1┴ (АВС); М – середина SA, α┴SA (M належить α); α перетинає ОО1 в точці О1; О1 – центр описаної кулі. 

 Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра SO – висота піраміди, О – центр кола, описаного навколо основи піраміди, М – середина ребра SA, MO1┴SA; MO1∩SA в точці О1; О1- центр описаної кулі, SO1=Rкулі; АО = rкола, описаного навколо основи піраміди

Примітка. Центр описаної кулі може знаходитись в середині піраміди (на висоті, рис. 1); поза пірамідою (на продовжені висоти, рис. 2); в площині основи піраміди (співпадає з основою висоти піраміди, рис. 3).

                                       рис.1                                    рис.2                                            рис.3 

  Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди (або на її продов¬женні), то при розв'язуванні деяких задач можна користуватися таким прийомом: продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S1 і з'єднати точку S1 з точкою А. Тоді SS1 —діаметр кулі і кут SAS1 = 90° як вписаний кут, який спирається на діаметр. 

Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі. O1 – центр кулі; К – точка дотику з гранню SDC O1K = rрадіус кулі, O1K ┴ (SDC) 

 Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди. (Вважають, що площина лінійного кута проходить через висоту піраміди.)

SO – висота піраміди, О – центр кола, описаного навколо основи піраміди, М – середина ребра SA, MO1┴SA; MO1∩SA в точці О1; О1- центр описаної кулі, SO1=Rкулі; АО = rкола, описаного навколо основи піраміди. 


 Примітка. Центр кулі, вписаної в піраміду, лежить в точці перетину бісекторних площин двогранних кутів при ребрах піраміди. Бісекторною площиною двогранного кута називається площина, яка проходить через ребро двогранного кута і поділяє цей кут навпіл.

O1 – центр вписаної кулі; (BCO1) – бісекторна площина двогранного кута при ребрі ВС.

О1К┴(АВСD); О1К – радіус вписаної кулі 

Куля називається вписаною в циліндр (конус), якщо основи (основа) і всі твірні, які утворюють циліндр (конус), дотикаються кулі. Такий циліндр (конус) називається описаним навколо кулі.

 Кулю можна вписати тільки в такий циліндр, висота якого дорівнює діаметру основи (такий циліндр називають рівностороннім). Куля дотикається основ циліндра в їх центрах і бічної поверхні циліндра по більшому колу кулі, паралельному основам циліндра. Діаметр кулі дорівнює висоті циліндра.

R – радіус вписаної кулі; r – радіус циліндра; H – висота циліндра; R = r, 2R=H 

Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, паралельній основі конуса. Центр вписаної кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, вписаного в трикутник, який є осьовим перерізом конуса.

R – радіус вписаної кулі; r – радіус конуса; H – висота конуса; R/(H-R)=r/√(H^2-r^2 )

Куля називається описаною навколо циліндра, якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі (рис. 1). Куля називається описаною навколо конуса, якщо основа конуса є перерізом кулі, а вершина конуса лежить на поверхні кулі (сфери) (рис. 2). Такі циліндр і конус називаються вписаними в кулю (сферу). 

Кулю можна описати навколо будь-якого (прямого, кругового) циліндра. Кола основ циліндра лежать на поверхні кулі. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра. ABCD – осьовий переріз циліндра; R – радіус описаної кулі; r – радіус циліндра; H – висота циліндра; R^2=(H/2)^2+r^2

Кулю можна описати навколо будь-якого конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр описаної кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса.

∆MAB – осьовий переріз конуса; R – радіус описаної кулі; r – радіус конуса;  

H – висота конуса; R^2=(Н-R)^2+r^2 

Пошук
Календар
«  Листопад 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбНд
  12345
6789101112
13141516171819
20212223242526
27282930

Друзі сайту

Сайт СЗОШ № 8

Сайт Кравчук Г.Т.

Сайт Наголюк З.І.

Сайт Кіча О.В.